直訳すると「青から出てくる」
「out of the blue」。
このblueとは青空のことで、
安定していて、何も変わったことが起こらないイメージ。
その状態から、雷が落ちるように、突然何かが起こる、
つまり、「いきなり」「急に」等の意味になりました。
日本でも「晴天の霹靂」といいますね。
例・I can’t ask him out of the blue.
「いきなり彼に聞くのは無理」
ちなみに、このblueは青空「blue sky」のことを指しますが、
他にも、青い制服をイメージするところから、「警察官」という意味でblueが使われることもあります。