直訳すると「豆をこぼす」となる「spill the beans」
これは元々、料理をテーブルに運ぶ時まで何の料理か秘密にしていたところ、
その客の前でうっかり豆をこぼしてしまい、
豆料理だとばれてしまった事が由来とされており、
そこから、spill the beansで、
「秘密をばらす」という意味で使われるようになりました。
例・Would you spill the beans？ 秘密を教えてくれないかい？
補足
ビッグマウスといえば「大きな口をたたく」という意味で使われますが、これは日本だけの話で、
英語で「Big mouth」が使われる際は、
秘密をベラベラしゃべってしまう人のことをさすので、注意が必要です。